And there we go again. Wederom in het vliegtuig naar Engeland, maar er zijn natuurlijk een paar dingen veranderd: ik weet deze keer waar ik precies heenga, en er staan mij twee examens te wachten op de eerste dag. O, en het vertrek- en aankomstvliegtuig zijn in plaats van Brussel en Heathrow nu respectievelijke Düsseldorf-Weeze en Birmingham International.
Het was wel weer even fijn om thuis te zijn. Je bent niet genoodzaakt om zelf (magnetron)maaltijden klaar te maken, boodschappen worden voor je gedaan (en voor je betaald), je kan tv-kijken, je hebt geen colleges, en zo kan je nog wel even doorgaan. Daar staat natuurlijk tegenover dat onderhevig bent aan het strenge ouderlijke bewind en je je er opeens weer van bewust wordt dat je een broertje en zusje hebt. Maar deze dingen hebben ook weer hun charme… Voor een paar weekjes dan.
Maar wat ik heb nou gedaan de afgelopen paar weken? Drie dingen: 1) bijslapen en bij-eten 2) het gebrek aan sociaal contact met Nederlanders compenseren 3) studeren. Eigenlijk had de laatste op de eerste plek moeten staan, maar dat lukte niet altijd. O, en ik was ook nog redelijk wat tijd kwijt met 4) het aanmelden voor Spring Internships, probeer maar eens een zinnig, mooi en ook nog uniek antwoord te verzinnen op vragen als “Beschrijf een prestatie in je leven waar je trots op bent en vertel hoe deze prestatie je gevormd heeft tot de persoon die je nu bent.” En een CV schrijven klinkt ook makkelijker dan het is!
1) en 2) behoeven niet echt nadere toelichting; Het was leuk om iedereen weer te zien, en men heeft mij zelfs weten over te halen om speciaal voor carnaval in te vliegen. Ik heb mij nog nooit zó Maastrichts gevoeld. Al voelde ik mij in eerste instantie toch een beetje een buitenstaander toen ik met Rosa voor het eerst naar de stad ging, en de eerste zin die ik hoorde was: “Meeeh jong, most de dat reuzeráád seeen.” (Mijn Maastrichtse spelling laat wat te wensen over… Misschien dat een Maastrichts sprekend persoon ons even kan verlichten. Bente? Julia?)
Dan ga ik nu maar eens 3) toelichten, of nog beter, aanschouw de wonderlijke stellingen en bewijzen die mij te wachten staan op het examen. Mensen die een afschuw voor wiskunde koesteren, weest gewaarschuwd! (En wat doe je überhaupt op een blog van een wiskundige?).
De twee examens zijn voor de vakken “Foundations” en “Analysis”. Foundations is een samenraapsel van de basis van alle takken in de wiskunde. Analysis gaat tot nu enkel over rijen van getallen en sommen (maar zal volgend trimester ook functies gaan behandelen). Een belangrijk deel van Foundations is getaltheorie. Zo worden de natuurlijke getallen gedefiniëerd (1,2,3,4…) en wordt vastgesteld dat er oneindig veel zijn (goh!). Máár, zegt een wiskundige, het zijn er níet “ontelbaar” veel! Kijk maar, ik kan ze tellen: 1, 2, 3, … . Je kan dus een lijst van deze getallen maken waar ze állemaal instaan, en dus kunnen we ze wel tellen.
De tweede verzameling getallen waar naar gekeken wordt zijn de rationale getallen. Dit zijn alle getallen die je kan schrijven als a/b; beter bekend als breuken. Maar kan je alle breuken tellen? 1, 1/2, 1/3, 1/4, … werkt niet, want waar is 2/3 in dit rijtje?

Ik kan dus geen lijst maken van alle rationale getallen. Maar je kan er wel een vierkant van maken! We kunnen nu alle breuken in dit vierkant gaan tellen door de pijtljes te volgen. Er zijn dus ook oneindig veel breuken, maar ze zijn wederom níet ontelbaar. Je kan er een lijstje van maken, en dan je kan gaan tellen. Begin maar:
, … Welke breuk je ook verzint, als je maar lang genoeg doortelt kom je hem tegen!
Maar er zijn nog meer getallen, de reële getallen. Getallen zoals
,
en
zijn voorbeelden. De vraag is nu of we deze ook kunnen tellen. Je ziet meteen dat 0.00001, 0.00002, … niet werkt, want waar is 0.0000000001, en waar is 0.0000000000001 in dit lijstje? Maar de rationale getallen leken op het eerste gezicht ook niet goed telbaar, totdat we ze in een vierkant zetten. Misschien dat we zoiets ook met de reële getallen kunnen doen? Cantor bewees in 1891 van niet met zijn diagonalisatieargument. Hij bewijst het als volgt: Stel dat je een een oneindig lange lijst hebt van reëele getallen tussen 0 en 1, dan is er áltijd een getal dat nog níet in deze lijst staat. Dat was bij de vorige twee lijsten niet het geval.
Stel ik heb de volgende lijst getallen:
- 0.654314123…
- 0.987312342…
- 0.492712342…
- 0.131543123…
- etc.
Deze lijst gaat oneinding lang door met allemaal reële getallen tussen 0 en 1. Maar ook al zijn het er oneindig veel, het zijn ze nog steeds niet allemaal. Stel dat ik een getal heb dat als eerste decimaal een ander getal dan een 6 heeft, als tweede decimaal een ander getal dan 8, als derde getal geen 2, als vierde geen 5, etc. Bijvoorbeeld 0.7935… Dit getal is dan anders dan alle getallen in de lijst. Maar zo kan ik oneindig doorgaan; voor elk getal in de lijst kan je weer een getal verzinnen dat ergens één decimaal anders heeft! Het zijn er dus ontelbaar veel, want je kan altijd nieuwe getallen verzinnen.
Nutteloos hè? Vind ik ook.
Maar ik mag nog een weekje door met dat soort nutteloze dingen studeren (ergens is het toch wel leuk) met tussendoor nieuwjaar in Londen!
Als afsluiting toch maar de belofte dat ik wat vaker dingen zal schrijven, want blijkbaar zijn er (heel) veel meer mensen die dit lezen dan ik eigenlijk dacht! Maar wees gewaarschuwd, hoe meer ik moet schrijven, hoe minder inspiratie ik krijg, de vreemdere dingen ik moet gaan schrijven… Dingen over wiskunde bijvoorbeeld!